集合

集合的概念

  • 给定论域$X$和给定某一性质$P$，$X$具有性质$P$的元素所组成的总体叫做集合，简称为集。
  • 如果$x$是集合$A$的元素，就是说$x$属于$A$，写成$x\in A$；反之，如果$x$不是集合A的元素，就说$x$不属于$A$，表示$x \notin A$。

集合的特征函数表示

对于给定的论域$U$，任意集合$A\subseteq U$，$x\in U$，则有： $$\mu_A(x)=\begin{cases} 1,x \in A\ 0,x \notin A\ \end{cases}$$ $\mu_A(x)$成为集合A的特征函数，可见特征函数的值是一个只能取两个数的集合${0，1}$。 所以，用函数来刻画某一个集合，那么集合之间的运算可以转化成函数之间的运算。

集合的直积

有两个集合$A$和$B$，从$A$中取一个元素$x$，从$B$中取一个元素$y$，把他们搭配起来组成一个序偶$(x , y)$，所有序偶的全体组成一个新的集合，这个集合叫做集合A和集合B的直积$A\times B$，表示成： $$A\times B = { ( x , y ) \mid x\in A, y\in B }$$ 序偶和顺序有关，即$(x , y) \ne (y , x)$，所以一般情况下直积$A\times B \ne B\times A$ 直积也叫乘积、叉积或笛卡尔积，有直积就可以描绘$n$维立方体。

关系矩阵

用矩阵来描述两个集合之间的关系

模糊集 $\mathop{ A }\limits_{\sim}$

定义：给定论域$U$，对于$\forall x\in U$都指定的一个值，将序对（偶）集 $$\mathop{ A }\limits_{\sim} = ( \mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}(x) \mid x ) , \forall x \in U , \mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}(x) \in [0 , 1]$$ 定义为论域$U$上的一个模糊子集，简称模糊集，${\sim}$波浪号表示该集合为模糊集。 根据以上定义，模糊集合实质是论域$U$到$[0 , 1]$闭区间的一个映射。

模糊集例子

比如：年轻是20岁以下；中年是四五十岁；老年是七八十岁。 所谓模糊集，就是任何一个元素属于这个集合的程度是需要用一个隶属度函数来刻画的，就是由隶属度函数来描绘这个元素属于这个集合的程度大小

模糊性与随机性

  • 模糊性总是伴随着复杂性而出现
  • 复杂性意味着因素的多样性、关联的多样性
  • 随机性：事件是否发生的因果规律被破坏二造成的一种不确定性
  • 模糊性：事物本身性态和属性的不确定性

从信息观点看：随机性只设计信息的量。模糊性关系到信息的意义、信息的定性问题。 模糊性是一种比随机性更深刻的不确定性。但是用随机、用概率的方式来解决模糊的问题是做不到的。

模糊集的表示

加法表示

  • 也并不是加法，就是一个集合。也叫做乍得表示。

向量表示

  • 用大括号集合表示，但是要表示出0。

隶属度函数$\mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}(x)$表示

隶属函数的确定

  • Fuzzy统计法 $$\mu(x_{\phi}) = {\lim_{x \to +\infty}}{\frac{x_{\phi} \in A^*的次数}{n}}$$ 其中$n$为总得试验次数，只要充分大就可以了，随着$n$的增大，$\mu_(x_{\phi})$就会趋向一个$[0 , 1]$闭区间的数，即隶属度。隶属函数绝不是概率，只是用概率这个解析式来表示。

  • 几种常见的隶属函数形式，一些专家在某些领域研究的隶属度规则

    • 正态形
    • 斜坡形

模糊集的运算

$\bm{ \mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim} \cup \mathop{ B }\limits_{\sim}}(x)}$ = $\max[ \bm{\mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}(x)}, \bm{\mu_{\mathop{ B }\limits_{\sim}}(x)} ]$

$\bm{ \mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim} \cap \mathop{ B }\limits_{\sim}}(x)}$ = $\min[ \bm{\mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}(x)}, \bm{\mu_{\mathop{ B }\limits_{\sim}}(x)} ]$

$\bm{ \mu_{\mathop{ \overline{A} }\limits_{\sim}}}$ = 1 - $\bm{\mu_{\mathop{ A }\limits_{\sim}}}(x)$ $\bm{ \mu_{\mathop{ \overline{B} }\limits_{\sim}}}$ = 1 - $\bm{\mu_{\mathop{ B }\limits_{\sim}}}(x)$

智能处理未来的发展方向？ 普通集合表示法的枚举法和定义法举例？ 什么是直积？ 模糊集和经典集合的区别？ 模糊数学和概率论的区别？

常规控制

传统控制需要一个精确的数学模型，但是建不起模型，就无法获得最好的控制效果。但是总不能用不精确的数学模型来控制，那样的控制效果就会大打折扣。所以用模糊控制来代替这种不精确的数学模型。

模糊控制

  1. 状态变量和控制变量的确定
  2. 推理方法的选择
    • Mamdars
    • Larsen
    • Tsukamolo
    • TSK
  3. 数据（知识）库设计
    • 对论域进行划分，根据实际问题、实际情况进行划分，进行归一化。一个数据只能属于相邻，每个论域上相加是1。
  4. 规则库设计
    • 从专家那去获得
    • 控制工程理论基础
    • 熟练工人的长期经验
    • 对例子过程的模糊建模
    • $if$ 评价状态变量，$then$控制动作，$if$ $x$ $is$ $A$ $and$ $y$ $is$ $B$，$then$ $z$ $=$ $f_i(x,...,y)$
  5. 去模糊化
    • 中心化
    • 加权法
  6. 测试和调整
    • 调整数据库
    • 调整规则库
    • 尝试不同的推理方法
    • 尝试不同的解模糊化方法
  7. 确定查找表